Давайте разбираться по порядку:

1. Если работнику предложили другую должность во время трудового отпуска, можно ли перевести работника во время трудового отпуска ?

- Да, можно, только с согласия работника. Однако, приступить к работе он может после окончания  с трудового отпуска (если он не согласен на отзыв с трудового отпуска) (ст.92, 147 ТК).  

1.1. В праздничные дни ?

1.1. Нельзя, согласно ст.131 ТК, праздничные дни считаются нерабочими днями.

2. Относительно работника, который написал заявление в конце декабря 2017 года на прекращение трудового договора со 2 января 2018 года (в нерабочий день). При этом, срок действия заявления истекает 3 января 2018 года.

К сожалению, в своем обращении вы не указали конкретную дату обращения работника, что бы наш разговор был более предметным.

В зависимости от основания на прекращения трудового договора,  работодатель решает согласиться с работником или дать ему на срок предупреждения - отработку.

В Вашем случае это непонятно, т.к. нет даты обращения заявления и основания прекращения (например, по собственному желанию).